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矩陣
數學上,一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由數組成,或更一般的,由某環中元素組成。
矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析,以及組合數學等。請參考矩陣理論。
目录
1 歷史
2 用詞
3 定義和相關符號
3.1 一般環上的矩陣
3.2 分塊矩陣
4 特殊矩陣類別
5 矩陣運算
6 綫性變換,秩,轉置
7 雅可比(Jacobian)行列式
8 参见
9 参考文献
10 外部链接
编辑 歷史
作為解決線性方程的工具,矩陣也有不短的歷史。1693年,微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論(theory of determinants)。1750年,加布里尔·克拉默其後又定下了克莱姆法则。1800年代,高斯和威廉·約當建立了高斯-約當消去法。
1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創出matrix一詞。研究過矩陣論的著名數學家有阿瑟·凯莱、威廉·盧雲·哈密頓、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和馮·諾伊曼。
编辑 用詞
在英語中,橫向稱為「Row」,縱向稱為「Column」。在中國大陸,橫向譯為「行」,縱向譯為「列」,而在台灣則相反,橫向譯為「列」,縱向譯為「行」。
编辑 定義和相關符號
以下是一個4 × 3矩陣:
某矩陣A的第i 行第j 列,或i,j位,通常記為Ai,j 或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。
此外A = (aij),意為Ai,j = aij對於所有i及j,常見於數學著作中。
编辑 一般環上的矩陣
給出一環R,M(m,n, R)是所有由R中元素排成的m× n矩陣的集合。若m=n,則通常記以M(n,R)。這些矩陣可加可乘 (請看下面),故M(n,R)本身是一個環,而此環與左R 模Rn的自同態環同構。
若R可置換, 則M(n, R)為一帶單位元的R-代數。其上可以莱布尼茨公式定義行列式:一個矩陣可逆當且僅當它的行列式是在R內的可逆元。
编辑 分塊矩陣
分塊矩陣是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例,以下的矩陣
可分割成4個2×2的矩陣
。
此法可用於簡化運算,簡化數學證明,以及一些電腦應用如VLSI晶片設計等。
编辑 特殊矩陣類別
對稱矩陣是相對其主對角綫(由左上至右下)對稱,即是ai,j=aj,i。
埃爾米特矩陣(或自共軛矩陣)是相對其主對角綫以複共軛方式對稱,即是ai,j=a*j,i。
特普利茨矩陣在任意對角綫上所有元素相對,是ai,j=ai+1,j+1。
隨機矩陣所有列都是概率向量,用於馬爾可夫鏈。
编辑 矩陣運算
給出m×n矩陣A和B,可定義它們的和A + B為一m×n矩陣,等i,j項為 (A + B)i, j = Ai, j + Bi, j。舉例:
另類加法可見於矩陣加法.
若給出一矩陣A及一數字c,可定義标量积cA,其中 (cA)i, j = cAi, j。 例如
這兩種運算令M(m, n, R)成為一實數線性空間,維數是mn.
若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等,則可定義這兩個矩陣的乘積。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣,它們的乘積AB是一個m×p矩陣,其中
(AB)i, j = Ai, 1] * B[1, j + Ai, 2] * B[2, j + ... + Ai, n * Bn, j 對所有i及j。
例如
此乘法有如下性質:
(AB)C = A(BC)對所有k×m矩陣A, m×n矩陣B及n×p矩陣C("結合律").
(A + B)C = AC + BC對所有m×n矩陣A及B和n×k矩陣C("分配律")。
C(A + B) = CA + CB對所有m×n矩陣A及B和k×m矩陣C("分配律")。
要注意的是:交换律不一定成立,即有矩陣A及B使得AB ≠ BA。
對其他特殊乘法,見矩陣乘法。
编辑 綫性變換,秩,轉置
矩陣是綫性變換的便利表達法,皆因矩陣乘法與及綫性變換的合成有以下的連繫:
以Rn表示n×1矩陣(即長度為n的矢量)。對每個綫性變換f : Rn -> Rm都存在唯一m×n矩陣A使得對所有Rn中的元素x,f(x)= Ax。 這矩陣A "代表了"綫性變換f。 今另有k×m矩陣B代表綫性變換g : Rm -> Rk,則矩陣積BA代表了綫性變換g o f。
矩陣A代表的綫性代數的映像的維數稱為A的矩陣的秩。矩陣秩亦是A的行(或列)生成空間的維數。
m×n矩陣A的轉置是由行列交換角式生成的n×m矩陣Atr(亦记作AT或tA),即對所有i、j,Atri, j = Aj, i 。若A代表某一綫性變換,則Atr表示其對偶算子。
轉置有以下特性:
(A + B)tr = Atr + Btr,(AB)tr = BtrAtr。
编辑 雅可比(Jacobian)行列式
主条目:雅可比矩阵
编辑 参见
矩陣論專有名詞表:有關矩陣論所用到的名詞的定義
方块矩阵
矩陣範數
雅可比矩阵
编辑 参考文献
编辑 外部链接
矩阵分析:第2卷 (英文影印版) - China-Pub网上书店
矩阵分析:第2卷 (英文影印版)数学_代数,数论及组合理论_矩阵论教材
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其中是由除去第行及第列所得的矩阵.当然,我们定义行列式时可在










