本文介紹的是氫原子的物理性質。關於氫元素的化學性質，詳見「氫」。 氫-1 全表 總體特性 名稱， 符號 氕[1], 1H 中子 0 質子 1 核素資料 豐度 99.985% 半衰期 stable 同位素質量 1.007825 amu 自旋 ½+ 盈餘能 7288.969 ± 0.001 keV 結合能 0.000 ± 0.0000 keV 氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子，被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中，氫原子是豐度最高的同位素，稱為氫，氫-1 ，或氕[1]。氫原子不含任何中子，別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫-1 。 氫原子擁有一個質子和一個電子，是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只相依於二體之間的距離，是反平方連心力。我們不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。我們可以這樣說，在量子力學裏，沒有比氫原子問題更簡單，更實用，而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，氫原子問題是個很重要的問題。 薛丁格方程式也可以應用於更複雜的原子與分子。可是，大多時候，沒有解析解，必須要用電腦來計算與模擬，或者，必須做一些簡化的假設，才能夠求得解析解。 目录 1 歷史 2 薛丁格方程式解答 2.1 角部分解答 2.2 徑向部分解答 2.3 量子數 2.4 角動量 2.5 自旋-軌道作用 2.6 精細結構 3 氫原子電子軌域圖 4 註解 5 參閱 6 參考文獻 7 外部連結 编辑 歷史 氫原子的繪圖顯示出直徑大約為波耳半徑的五倍。（圖形不按照比例） 1913 年，尼爾斯·波耳在做了一些簡化的假設後，計算出氫原子的光譜頻率。這些假想，波耳模型的基石，並不是完全的正確，但是可以得到正確的能量答案。 1925/26 年，埃爾文·薛丁格應用他發明的薛丁格方程式，以嚴謹的量子力學分析，清楚地解釋了波耳答案正確的原因。氫原子的薛丁格方程式的解答是一個解析解，也可以計算氫原子的能級與光譜譜線的頻率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更為精確，能夠得到許多電子量子態的波函數（軌域），也能夠解釋化學鍵的各向異性。 编辑 薛丁格方程式解答 氫原子問題的薛丁格方程式為 ； 其中， 是約化普朗克常數， 是電子與原子核的約化質量， 是量子態的波函數， 是能量， 是庫侖位勢： ； 其中， 是真空電容率， 是單位電荷量， 是電子離原子核的距離。 採用球坐標 ，將拉普拉斯算子展開： 。 猜想這薛丁格方程式的波函數解 是徑向函數 與球諧函數 的乘積： 。 编辑 角部分解答 相依於天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式 ； 其中，非負整數 是軌角動量的角量子數。磁量子數 （滿足 ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 與 給予不同的軌角動量函數解答  : ； 其中， 是虛數單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 ； 而 是 l 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為： 。 编辑 徑向部分解答 徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式： 。 方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。 除了量子數 與 以外，還有一個主量子數 。為了滿足 的邊界條件， 必須是正值整數，能量也離散為能級 。隨著量子數的不同，函數 與 都會有對應的改變。按照慣例，我們規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為 ； 其中， 。 近似於波耳半徑 。假若，原子核的質量是無限大的，則 ，並且，約化質量等於電子的質量， 。 是廣義拉格耳多項式，定義為 ； 其中， 是拉格耳多項式，可用羅德里格公式表示為 。 為了要結束廣義拉格耳多項式的遞迴關係，必須要求量子數 。 知道徑向函數 與球諧函數 的形式，我們可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答： 。 编辑 量子數 量子數 、 、 ，都是整數，容許下述值： ， ， 。 為什麼 ？為什麼 ？若想進一步知道關於這些量子數的群理論，敬請參閱氫原子量子力學。 编辑 角動量 每一個原子軌域都有特定的角動量向量 。它對應的算符是一個向量算符 。角動量算符的平方 的本徵值是 。 角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為 。 因為 ， 與 是對易的， 與 彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 與 的同樣的本徵值。 由於 ， 與 互相不對易， 與 彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， 的本徵態與 的本徵態不同。 給予一個量子系統，量子態為 。對於可觀察量算符 ，所有本徵值為 的本徵態 ，形成了一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合： 。對於可觀察量算符 ，所有本徵值為 的本徵態 ，形成了另外一組基底量子態。量子態 可以表達為這基底量子態的線性組合： 。 假若，我們測量可觀察量 ，得到的測量值為其本徵值 ，則量子態機率地塌縮為本徵態 。假若，我們立刻再測量可觀察量 ，得到的答案必定是 ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 。可是，假若我們改為立刻測量可觀察量 ，則量子態不會停留於本徵態 ，而會機率地塌縮為 本徵值是 的本徵態 。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。 根據不確定性原理， 。 的不確定性與 的不確定性的乘積 ，必定大於或等於 。 類似地， 與 之間， 與 之間，也有同樣的特性。 编辑 自旋-軌道作用 主条目：自旋-軌道作用 電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當我們將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，我們可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，我們必須取代量子數 、 與自旋的投影 ，而以量子數 ， 來計算總角動量。 编辑 精細結構 主条目：精細結構 在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。 非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。氫原子的粗略結構只相依於主量子數 。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 效應；其中， 是精細結構常數。 在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階相依於主量子數 與總量子數 [2][3]，容許的能量為 。 编辑 氫原子電子軌域圖 電子的機率密度繪圖。橫向展示不同的角量子數 (l) ,豎向展示不同的能級 (n) 。 右圖顯示出能量最低的幾個氫原子軌域（能量本徵函數）。這些是機率密度的截面的繪圖。圖內各種顏色的亮度代表不同的機率密度（黑色：0 機率密度，白色：最高機率密度）。角量子數 () ，以通常的光譜學代碼規則，標記在每一個縱排的最上端。 意指 ， 意指 ， 意指 。主量子數 標記在每一個横排的最右端。磁量子數 被設定為 0 。截面是 xz-平面（ z-軸是縱軸）。將繪圖繞著 z-軸旋轉，則可得到三維空間的機率密度。 基態是最低能級的量子態，也是電子最常找到的量子態，標記為 態， 。 特別注意，在每一個軌域的圖片內，黑線出現的次數。這些二維空間黑線，在三維空間裏，是節面 (nodal plane) 。節面的數量等於 ，是徑向節數（ ）與角節數（ ）的總和。 编辑 註解 ^ 1.0 1.1 （注音：ㄆㄧㄝ；拼音：piē；粵語：撇；英語：protium） ^ French, A.P.. Introduction to Quantum Physics. en:W.W. Norton & Company. 1978:  pp. 542.  ^ 狄拉克方程式關於氫原子的解答 编辑 參閱 氘 氚 氫原子光譜 21公分線 量子化學 類氫原子 球對稱位勢 拉普拉斯-龍格-冷次向量 更輕鄰素: （沒有） 氫原子 是 氫的同位素 更重鄰素: 氫-2 衰變產物： （參閱光子發射） 氫原子的 衰變鏈 衰變為 （穩定） 编辑 參考文獻 Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995:  131-200. ISBN 0-13-111892-7.  编辑 外部連結 大衛森大學物理課堂講義：關於軌域的互動繪圖 新墨西哥大學物理課堂講義：氫原子的波函數，波函數線形圖，與機率密度圖像 德瑞守大學物理課堂講義：氫原子基本量子力學概念